（文科）已知如图，在三棱锥P-ABC中，顶点P在底面的投影H是△ABC的垂心．（Ⅰ）证明：PA⊥BC；（Ⅱ）若PB=PC，BC=2，且二面角P-BC-A度数为60°，求三棱锥P-ABC的体积VP-ABC的值．

更新时间：2026-05-06 03:01:49

问题描述：

盛波回答：

　　（Ⅰ）证明：连接AH，并延长交BC于D，连接BH，并延长交AC于E，连接PD，　　由PH⊥面ABC，得PH⊥BC，　　又H是△ABC的垂心，可得AD⊥BC，而PH∩AD=H，　　则BC⊥面PAD，所以PA⊥BC；…（4分）　　（Ⅱ）由（Ⅰ）知BC⊥面PAD，则BC⊥PD，　　所以∠PDA为二面角P-BC-A的平面角，则有∠PDA=60° 　　由BC⊥PD，PB=PC，可知BD=DC，　　又BC⊥AD，所以AB=AC 　　在△ABC中，因为H是垂心，由平面几何可知△ABD∽△BHD，　　所以ADBD＝BDDH，⇒AD•DH＝BD

（文科）已知如图，在三棱锥P-ABC中，顶点P在底面的投影H是△ABC的垂心．（Ⅰ）证明：PA⊥BC；（Ⅱ）若PB=PC，BC=2，且二面角P-BC-A度数为60°，求三棱锥P-ABC的体积VP-ABC的值．

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